正則線形変換Tを分解してみた

ユニタリー空間の任意の正則線形変換は正値エルミート変換HとユニタリーUの積として表せる。この定理の証明ではと置いた後ひたすら式変形したら証明できる。しかし、そこから生み出した疑問は「なぜはこういう形を持つの？」。

この疑問を解くには[tex: T^]を考えましょう。なら当然のこと[tex: T^=U^{-1}H]がある。[tex: TT^ = H H]も当然成立する。従って[tex: H=\sqrt{T T^}]のも当然のことなので、この形を代入して証明できる。なおこの方法だとこの分解の一意性が簡単に見えてくる。