シュミット分解を軽く証明した

まずはシュミット分解は何かを軽く説明する。ある純粋量子状態 $|\psi>$ があるとする。元の量子システムをAとBの二つのシステムに分けた後、サブシステムの基底を $|i>$ と $|j>$ とする。 $|\psi>=\sum \lambda_{r} |i>|j>$ が成立する。ここのrはAとBの中で次元数が低いシステムの次元数に相当する。

AとBが同じ次元の場合

元のシステムは $A \otimes B$ で表されるので、 $|\psi >=\displaystyle \sum_i \sum_j a_{ij} |i> |j>$ は成立する。この形は目標と似ているが、加算する項が多い。 $a_{ij}$ を並べて幅と高さが一致する行列Aにする。Aはユニタリー行列U,Vと対角行列Dの積 $UDV$ に書ける。ここではaijをAのi行目j列の要素とする。前の分解によると、 $a_{ij}= \sum u_{ik} d_{kk} v_{kj}$ が成立する。これを代入すれば、 $|\psi>=\displaystyle \sum_i\sum_j \sum_k u_{ik} d_{kk} v_{kj} |i>|j>$ がわかる。

そこで、Aシステムの基底 $|i^k>$ を $\displaystyle \sum_i u_{ik} |i>$ として、Bシステムの基底 $|j^k>$ を $\displaystyle \sum_j v_{kj} |j>$ とする。そしてDの対角成分 $d_{kk}$ を $\lambda_r$ にする。そうしたら、 $| \psi > = \displaystyle \sum_k d_{kk} |i^k>|j^k>$ が得られる。

AとBが異なる次元の場合。

その場合、 $a_{ij}$ を並べた行列Aの幅と高さは異なる。従って、Aをユニタリー行列UVと対角行列Dの積に分解することはできない。具体例を挙げると、システムAを三次元にしてシステムBを二次元とする。この場合行列Aは幅が3で高さが2になる。

ここではBシステムの次元数が低い場合を考える。システムBに仮想な補助システムCを導入して。システムCの状態を $| 0 >$ にする。元の量子システムと合わせて全体の状態が $|\psi 0>$ になった。この状態をシステムAとシステム $B \otimes C$ に均等に分けることができる。さらに、Aの基底を ${|i>}$ として $B \otimes C$ の基底を ${|j>}$ とする。

AとBが同じ次元の場合を参考して $| \psi 0>=\displaystyle \sum_i \sum_j a_{ij} |i>|j>$ が成立する。従って $| \psi 0 >$ はシュミット分解ができることはわかる。ここで導入した補助システムCは0状態にいるので、 $|j>$ の中のCの成分が0でない時 $a_{ij}=0$ 。そこからわかることは $|\psi 0>=\displaystyle \sum_r \lambda |i>|j>|0>$ 。末尾の $|0>$ を除き取ると、シュミット分解ができた。